Os números possuem muitas
propriedades interessantes e misteriosas. Os matemáticos costumam dar nomes
exóticos a vários tipos de números cujas propriedades são raras. Temos os
números primos, números perfeitos, números triangulares, números narcisistas, e
assim por diante.
Hoje vamos falar dos números
estrelares hexagonais. Para identificarmos esse tipo de número primeiro temos
que conhecer os números hexagonais.
O que é um número hexagonal? É todo
número formado a partir da fórmula:
3n(n-1) + 1. Vamos ilustrar para ficar mais
claro: se queremos desenhar uma figura hexagonal usando bolinhas ou pedras, a
primeira figura terá, obrigatoriamente, 7 pedras.
Temos aí uma figura de seis lados,
ou seja, um hexágono. Aqui os matemáticos costumam fazer uma subdivisão. Se
tirarmos a pedra do centro, teremos apenas seis, mas ainda formando uma figura
de seis lados, uma figura hexagonal. A figura sem a pedra no centro é chamada
de NÚMERO HEXAGONAL. Com a pedra central (perfazendo sete) é mais conhecida
como NÚMERO HEXAGONAL CENTRALIZADO.
Mas neste texto vamos chamar a
figura acima apenas de NÚMERO HEXAGONAL e pronto.
Bom, nesse sentido, ninguém consegue
fazer uma figura hexagonal com menos de sete pedras.
Se tentarmos fazer uma figura maior
só conseguiremos se usarmos 19 pedras. E o número de pedras irá crescer na
medida em que a figura aumentar. Com a fórmula 3n(n-1) + 1 podemos descobrir todos os números hexagonais a partir
do primeiro. Só como curiosidade, os 7 primeiros números hexagonais são: 1, 7,
19, 37, 61, 91 e 127. Mesmo que não possamos formar uma figura hexagonal usando
o número 1, a fórmula exige que contemos com ele.
Bem, a partir do hexágono é que
surge a estrela hexagonal, também conhecida como Estrela de Davi, um dos
símbolos da nação de Israel. Será que podemos desenhar uma estrela hexagonal
usando bolinhas ou pedras?
Claro. Partindo do primeiro número
hexagonal, 7, é só colocarmos uma pedra em cada um dos seis lados e teremos a
primeira estrela hexagonal. Vejam aqui:
Quantas pedras essa primeira estrela
possui? Exatamente 13 pedras. Portanto, 13 é o primeiro número ESTRELAR
HEXAGONAL (isto é, que forma uma estrela de seis pontas).
Além do 13 que outro número estrelar
hexagonal podemos encontrar? A fórmula matemática é: 6n(n-1) + 1.
Usando esta fórmula podemos encontrar qualquer número
estrelar hexagonal.
Por exemplo, se você quiser saber
qual é o primeiro número estrelar hexagonal só precisa substituir a letra “n” da
fórmula pelo número 1. O resultado é 1, apesar de que uma pedrinha só não forma
visualmente uma estrela hexagonal.
Agora substituía os “n” da fórmula
por 2, e você terá o segundo número estrelar hexagonal que é o nosso conhecido
13.
Ex.: A fórmula é 6n(n-1) + 1.
Agora, substituindo o “n” por 2,
temos:
6.2 (2-1) + 1. Resolvendo:
6.2 (ou 6 x 2) = 12
(2 – 1) é igual a 1.
12 x 1 é 12 mesmo. Somando com o
último 1 da fórmula, teremos 13 (que já foi demonstrado figurativamente acima).
Só como desafio, descubra qual é o
1000.º número estrelar hexagonal. Você só terá que substituir a letra “n” por
1000 e ir até o final.
Bem, abaixo de 1000 só existem 13
números estrelares hexagonais:
